수학감각: 교육 이야기

루소의 교육.. 그리고 자연스러운 교육이란?

루소는 에밀에서 자연스러운 양육방법을 강조했는데.. 참으로 엉뚱하게도 5명의 자식을 고아원에 버렸다고 한다. 그런 잘못된 경험이 오히려 자녀양육에 있어 죄책감을 넘어선 어떤 깨달음을 주었을 수도 있겠지만.. 나는 루소의 주장 중에 가장 황당한 것이.. 바로.. 아래와 같은 것이다. 유아기때 무언가를 기억한다거나 창조적 상상활동을 한다는것은 필요치도 않고 가능하지도 않은 것이며 백지의 상태에 있는 유아기에는 잘못된 교육관으로 성격조작, 즉 인위적인 인식이 습관화되는 것을 가장 경계해야 한다는 것이다. 루소는 자연스러운 교육을 강조했고, 그것은 곧 인위적인 교육을 하지 말아야한다는 주장인데.. 전적으로 동감하면서도 무엇이 자연스러움인가에 대한 견해는 완전히 다르다.

자연을 관찰하거나 아이들을 보면.. 태생적인 자연스러움을 찾아볼 수 있다. 그래서 어떤 것은 교육으로 가능하고, 어떤 것은 그냥 내버려 두어야할 것인지를 어느 정도 분간할 수 있게 되었다. 그리고 정말 중요한 개념.. 특히 도덕이나 윤리로 대변되는 것은 몇 마디 말이나 훈련 프로그램으로 절대 완성할 수 없음을 알게 된다.

우리 아이가 노는 것을 가만히 관찰해 보면..어떨 때는 몇 시간씩 동일한 놀이를 한다. 예를 들면 식탁에 올라가서 종이를 찢고 떨어지는 종이의 움직임을 관찰하는 것이다. 어떤 것은 빨리 떨어지고, 어떤 것은 계속 회전하면서 멀리까지 날아간다. 동일한 패턴으로 떨어지는 것은 아무 것도 없다. 그러니 그걸 보면서 지루해하지 않는 듯 하다.

칼 비테의 영재교육법.. 핵심 내용만 정리

칼비테의 영재 교육법에 나온 내용 중에 실천해야할 항목들을 묶었습니다. 칼비테 교육법에서의 전제는 아주 어릴때부터 적절한 교육을 해야한다는 것입니다. 그럼 어떻게 해야할까요? 올바른 절차와 방법이 필요합니다. 참고하세요.

1. 모국어의 말을 수준있게 가르칠 것.

말이 트일 때부터 천천히 명확한 발음으로 반복해서 이야기합니다. 식기, 음식물, 신체부위, 옷이름, 실내기구, 물건, 정원, 풀, 꽃 등 주변에서 흔히 보는 사물을 통해 제한 없이 가르칩니다. 동사, 형용사를 곁들여 어휘를 풍부히 합니다. 재미있는 책을 읽으며 단어를 외울 수 있게 합니다. 특히 주변 물건으로 스토리를 만들어 꾸준히 이야기를 반복하고 따라하게 합니다.

2. 글자 가르치기..

"네가 글자를 알면 이 모든 것을 읽을 수 있을텐데.."라며 자극을 줍니다. 모음을 가르치고 난 뒤에 철자놀이를 통해서 단어 만들기를 합니다. 철자의 발음 규칙을 즐겁게 외우게 합니다. 외국어 교육은 상당히 준비한 다음에 하는데, 충분한 동기 유발을 하여, 아이 스스로 외국어를 배우고 싶다고 이야기하면 그 뒤에 한다. 예를 들면.. 베르길리우스의 서사시 아이네이스의 줄거리를 말해주고, 그 사상의 위해함을 설명하면서 흥미를 유도한다. 또 위대한 학자가 되기 위해서는 외국어를 잘 해야만 한다고 주지시킨다. 간판, 팜플릿을 보면 그 의미를 유차하게 하여 흥미를 유도한다. 호머, 플루타르코스, 베르길리우스, 키케로 등의 작품을 원서로 섭렵하게 한다. 같은 이야기(책)을 다양한 언어로 읽힌다. 예를 들어.. 이솝우화를 영어로도 한글로도 중국어로도..


초등학생 책을 안읽어요.. 독서습관 들이는 방법

영어책을 안읽는다구요? 이럴 경우 대부분 국어 책도 잘 안읽는 경우가 많습니다. 우리말 책도 잘 안읽는데 영어책을 읽을까요? "완전한 육아"에 나온 책 읽기 요령을 소개합니다. 미취학 아동, 초등학생에게 적절하다고 판단하여, 부분적으로 소개하여 드립니다.

1. 아이의 독서 수준보다 조금 낮은 재미있는 책을 몇 권 사거나 빌립니다. 아이가 흥미를 갖는 것(야구, 곤충, 동물 등)을 기준으로 삼습니다. 처음에는 굳이 책에 대해 언급하지 말고 아이의 책상 같은 눈에 띄는 곳에 두기만 합니다. 책을 많이 읽게 하려면 우선 책 읽는 연습을 많이 시켜보아야 합니다. 읽기 쉬운 책을 읽다 보면 어려운 책도 읽을 수 있는 능력이 생깁니다.

2. 도서관 대출카드를 함께 만들어 봅니다. 아이와 함께 도서관에 가서 자료를 이용하는 방법을 알려줍니다. 도서관에 정기적으로 다니고, 아이가 충분한 시간을 갖고 둘러볼 수 있도록 절대 재촉하지 않도록 합니다.

3. 잠자기 전에 책을 읽어 줍니다. 아이는 자는 것 이외의 일이라면 뭐든지 하기 때문에 매일 밤 책을 읽는 습관이 쉽게 생길 가능성이 있습니다.

4. 혼자 간식을 먹으면서 책을 읽는 아이들이 많습니다. 주방 식탁 옆에 책을 넣어 두는 상자를 준비하여 자연스럽게 책에 손이 가도록 해봅니다.

5. 책을 읽어 줍니다. 그리고 무엇보다 부모가 스스로 책을 가까이하면 아이에게도 좋은 영향을 줍니다.

초등, 중등 수학공부 어떻게?

혹시 22세 최연소 수학교수 관련 기사를 읽어 보셨나요?

http://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=101&oid=008&aid=0002805206

어린 자녀들의 수학 공부와 관련하여 중요한 포인트가 있습니다. 류 교수는 ‘어릴 적에 친구들과 다른 점이 없었느냐?’는 질문에 “수학을 편애했다는 것 외에는 별다른 차이점이 없었다”며 “초등학교 2,3학년 때부터 스스로 수학이론서를 찾아 읽었을 뿐 특별히 기이한 점은 없다”고 밝혔다. “가장 먼저 본 수리이론책은 “수학 100개 기본문제”와 “고중(古中)수학사상집”이며 수학을 매우 좋아하고 흥취를 느낀다”는 것이다.

초등, 중등 자녀에게 수학문제집을 보여주기 보다는 먼저 수학에 흥미를 갖도록하는 좋은 책들이 많이 있습니다. 왜 수학이 발생했고, 실생활에 어떻게 연결되는지에관한 책들입니다. 또 지금까지의 수학적 발견을 연대기처럼 엮은 것이나, 수학자들의 일대기를 담은 책들도 아이들에게 매우 좋습니다. 먼저 수학에 대한 즐거움을 주면, 아이들 스스로 하게 됩니다. 그런데 문제집을 반복해서 풀게 하면.. 수학공부가 재미 있어 질까요?

우리나라 교사나 학부모들이 쓴 책들.. 주로 수학천재.. 어쩌구 하는 책들을 보면.. 정말 어처구니 없는 부분들이 꽤나 있습니다. 마치 연산만 잘하면 수학을 잘 하는 것 처럼 묘사합니다. 짧은 시간에 빨리 연산해 낼 줄 알아야 고차원적인 문제도 쉽게 푼다고 이야기합니다. 우리 아이가 나누기를 하는데 한참이나 걸립니다. 곁에 보다 보면 답답해 죽습니다. 수학성적 70점 맞아 오면, 뭔가 모르는게 많구나라고 느낍니다.

하지만 아이 스스로 하기까지는 시간이 걸리는 것이고, 수학 문제를 꼭 100점 맞아야 앞으로도 잘 할 것이라는 보장도 없습니다. 수학 문제집 풀 것을 강요하기 전에 수학 관련 사상서, 역사서 등 교양 수학 책들을 먼저 보십시오. 부모님께서도 꼭 읽고 아이를 지도하는게 좋습니다. 가장 좋은 교육은 아이 스스로 깨우치고, 스스로 부족한 부분을 보완해 가는 것입니다.

마찬가지로 수학공부도 동기유발이 중요합니다. 또한 수학은 개념 학문입니다. 그 개념들을 정확히 이해할 줄 알면 응용도 쉽습니다. 곱하기는 더하기에서 왔고, 나누기는 빼기에서 왔습니다. 그 원리를 정확히 이해하면 분수 개념도 쉽고, 방적식도 쉽습니다. 어려울 것이 거의 없습니다. 무리수라는 개념이 어디서 왔고, 팩토리얼이 어떻게 발견되었는지.. 이런 것을 확실히 알면 문제 푸는 것은 아주 쉽습니다.

문제를 반복적으로 풀어서 연산 능력을 기르기 보다는 생각하는 힘을 길러주시길 바랍니다.

미적분과 지수,로그 함수를 공부하며..

요즘 저는 아주 이상한 체험을 하고 있지요. 지적 호기심이 엄청 솟아 오르는 경험이고, 깨달음이 예전보다 훨씬 빨리 오는 느낌. 암튼 이건 다른 사람에게 뭐라고 표현하기 어려운 것인데.. 수학공부를 하면서 더 느끼게 되었답니다. 여러분도 수학공부를 한 번 해보세요. 아주 본격적으로 말이죠.

처음에는 유클리드 기하학으로 시작해서, 수학에 빠졌다가.. 얼마 전에는 "미적분 7일만에 끝내기"라는 책을 봤는데, 너무 개념 설명을 잘 해놨더라구요. 미적분을 보면서.. 사칙연산이 아닌 개념을 정확히 익히는 것이 얼마나 중요한지.. 그리고 더하기, 곱하기, 나누기 정도만 하면 미적분을 할 수 있다는 것.. 지수, 로그함수와 관련된 책도 몇권 봤는데, 이것 또한 더하기라는 것이죠. 수학적 개념과 기원, 그리고 표현(공식) 등.. 얼마나 아릅다고 간결한지... 초등학생들도 충분히 이해할 수 있을 것이란 확신을 갖고 있어요. 한 번 행복한 천재학교에서 시험해 보려고 합니다.

저는 기질상 단계, 진도 등을 싫어 합니다. 누구에게나 가는 길이 똑같지 않다는거죠. 정상을 올라갈 때.. 잘 닦인 길이 안전하긴 하지만, 가장 빠른 길도 아닐 것이고, 즐거움을 주는 길이 아닐 수 있다는 거죠.. 그냥 본성대로, 능력대로.. 가고 싶은 길을 헤쳐가길 원하죠. 저 뿐만 아니고 내 아이.. 그리고 모든 다음 세대의 아이들이 그러길 바라면서 말이죠. 정해진 커리큘럼과 진도, 학습량 등으로 질식할 지경이니.. 보면 볼수록 안타깝죠. 아이들은 어른과 달라서 아이들을 어영부영 섣불리 가르치면 안된다고 생각해요. 특히 수학같은 경우엔 더더욱 그런데..

어떤 엄마가 하는 이야기를 듣고, 탄식하지 않을 수 없었죠. 초등 3학년인데 3시간 동안이나 백의자리 곱하기 백의자리를 설명해 줬는데, 이해하지 못해서 답답해 죽겠다고.. 그래서 아이가 진짜 멍청한게 아닌지 의심스럽다고 버젓이 다른 학부모들 앞에서 그 어리석은 입을 떠들고 다니더군요. 정말 아이가 아니고, 당신이 멍청한 거라는 사실을 말해주고 싶었는데.. 그런 말을 하는 순간 나 또한 멍청이 가운데 하나가 될 것이고.. 그런 말로 인해 그녀 스스로 자신의 아둔함을 깨닫지도 못할 것이고.. 또한 당신이 내 아이 키워봤냐고? 이렇게 따질 것이 뻔하기 때문이지요.

엄마들은 자신의 아이를 자기가 가장 잘 안다고 생각하나봐요. 그런데 제가 아이들을 가르치면서 보니까.. 엄마들이 아이를 가장 몰라요. 겉에 드러나는 부분은 잘 알지 몰라도, 아이들 내면에서 올리는 소리를 전혀 듣지 못하고 있죠.

또 저의 개인적인 경험을 나눠볼게요. 저희 아이가 곱하기의 개념을 정확히 이해하는데 1년 정도 걸린 것 같아요. 자릿수에 상관없이 덧셈의 방법을 익힌데도 1년 쯤 걸린거 같고요. 대수를 이해하는데는 3개월쯤 걸린거 같아요. 3시간으로 설명이 다 되었다고 생각하다니.. 정말 말도 안됩니다. 어른들은 자신이 초등 2년부터 수년간 덧셈, 곱셈을 연습했다는 것을 깨닫지 못하죠. 마치 한 순간 깨달은 것처럼 말이죠. 개구리 올챙이 적 생각 못한다는 말이 결코 헛말이 아닙니다.

우리 아이가 성경을 잘 안읽고, 반면 다른 책들은 많이 읽어서 우리 부부는 그 문제를 놓고 고심을 했습니다. 성경과 관련된 책은 귀신같이 알아보고, 안읽겠다고 거부했어요. 그러나 포기하지 않았죠. 방법을 달리해서.. 맥스 루케이도의 책들을 사줬습니다. 성경은 아니지만 성경적인 맥락에서 아이들 눈높이에 맞게 쓴 책입니다. 거기에는 하나님이 가끔 등장해요.. 그러더니 어느날부터인가 하나님에 대한 질문을 쏟아내더라구요. 지금은 성경책을 가장 좋아합니다. 계속 끼고 읽고, 성경지식은 물론이거니와 다양한 질문으로 인해.. 우리 부부가 곤혹스러울 때도 가끔 있지요. 제가 성경을 아이에게 권한 시점부터 지금 성경을 좋아하게 된 기간을 따져보면 3년쯤 되는거 같습니다. 아이들이 어떤 것와 관심을 갖는 것, 동기, 호기심.. 또는 개념을 이해하고 적용하기까지는 충분한 시간이 필요합니다.

백의 자리수 곱하기 백의 자리수를 완전히 이해하는데 3개월이 걸린다면 어떤 생각이 드나요? 전 그게 당연하다고 생각합니다. 하등 문제될 것이 전혀 없지요. 3시간만에 깨우친다한들 큰 의미가 없는 것이지요. 더 중요한 것은 그 과정을 재미있어 하고, 즐겨하고.. 여전히 동기를 갖고, 스스로 하느냐의 부분입니다.

엄마들, 아빠들 많이 힘들죠.. 그러나 비난 받아야 합니다. 반면 아이들은 절대 비난받을 존재가 아닙니다. 엄마들은 조그마한 비난에도 엄청 예민하고, 마치 미성숙한 소녀처럼 분을 삭힐 줄을 모릅니다. 한 번 무시당한다고 생각하면, 물불 안가립니다. 그러면서 아이들 비난은 아주 서슴없이, 그것도 습관적으로 합니다.

공부에 있어 타고났다는 것에 대해서..

우리 아이를 보면, 영어는, 언어는 타고 난 듯 하다.. 또는 수학은 타고난 것 같다.. 정말 그런가요?

데카르트가 유명한 말을 했죠..

I think; therefore I am.

You just keep pushing. You just keep pushing.

I made every mistake that could be made. But I just kept pushing.


먼저 원인을 너무도 쉽고 편한 방법으로 단정지어 버리는 습관을 버리고, 뭐든 의심하고, 생각하는 존재로 자신을 만들 것과.. 학습에 있어서 만큼은.. 심지어 천재 조차도.. 데카르트 말처럼 계속 연습하고, 연습하고, 일어날 수 있는 실수를 계속해도.. 그럼에도 포기하지 않고, 계속 연습하는 것.. 그 결과 높은 수준에 다다랐다는 고백을 하고 있습니다. 물론 연습과 노력을 억지로 한 것이 아니고, 좋아서 했던 것이겠죠. 감히 데카르트 만큼 수학에 타고났다고 말할 수 있는 아이가 있을까 싶어요.

그가 겸손해서 이런 말을 한 것이 아니라 진실이기 때문에 이런 말을 후세 사람인 우리에게 간절하게 전하고 있다는 생각을 합니다.

뉴턴과 고전 읽기, 교육에 대한 단상

뉴턴은 대학 들어갈때 수학을 잘몰랐다고 합니다. 그러나 유클리드와 데카르트를 읽고 배로의 강의를 들으며 수학에 빠져 들었다니.. 거의 모든 수학의 천재들은 고전을 깊이 연구함으로 탁월함에 도달했음을 보게 됩니다. 교과서 말고 제발 고전을 읽혔으면...

고전에 대한 심각한 오해는 고전은 어려울 것이라는 편견.. 그러나 교과서보다 재미있을 수 있어요. 고로 자꾸 보게되고 , 이해하고 싶고, 그리하여 정보만 나열된 교과서로는 범접할 수 없는 경지에 다다를 수도 있겠지요.

그럼으로써 교육의 문제 대부분을 해결할 수 있지 않을까...

자연을 관찰함이 창조성이다.

어제 "뉴미디어와 교육" 모임에서 김영은님이 다빈치가 끈기가 없는 사람이었다는 말에 다빈치에 관해 찾아 보았다. 항상 일을 제대로 끝마치지 않기로 유명했다는 다빈치.. 세상 사람들은 원인과 결과를 혼동하는 경우가 종종 발견한다. 공부 잘하는 아이들이 끈기있게 책상 앞에 앉아서 공부하는 걸 보고는.. 아.. 책상 앞에 앉아서 오래 인내하며 공부해야 공부를 잘 할 수 있다고 생각하는 경우도 있다.

그러나 책상 앞에 앉아서 공부하게 된 원인이 따로 있는 것이다. 그 공부가 즐거워서도 그럴 수 있고, 뭔가 호기심을 채우고, 깨닫는 즐거움 때문에 그럴 수도 있는 것이다. 즉 책상 앞에 오래 앉아 있는 것은 결과이지 원인이 아닌 것이다. 눈에 보이는 것 보다는 눈에 보이지 않는 것.. 그것이 진짜 원인인 경우가 대부분이다.

다빈치에 대해서.. 보면서 또하나 드는 생각은.. 자연을 관찰함으로 생기는 호기심의 중요성이다. 아이들 교육은 자연을 관찰하고, 궁금한 것을 묻고 찾아가는 것을 우선으로 해야함에도 교실에 갖혀 있음이 안타깝다.

<다빈치에 대한 소개 중에서 일부..> 1452년 이탈리아에서 빈치에서 태어난 레오나르도 다빈치, 그의 이름은 "빈치사람 레오나르도"라는 뜻이다. 서출(첩이 낳은 아이)로 태어난 까닭에 당시 지식인들의 언어인 히랍어와 라틴어를 배울수 없었다. 정식교육도 받지 못한 다빈치는 왼손잡이였으며 이상하게도 글씨를 거울에 비쳐야만 볼수 있도록 거꾸로 글씨를 쓰는 버릇이 있었다. 이탈리아 빈치에서 어린시절을 보낸 다빈치의 호기심을 자극한것은 물의 움직임과 식물의 성장 주기, 갖가지 짐승의 움직임, 그리고 무엇보다 새가 나는 모습이었다. 그는 발명을 할때 자연에서 아이디어를 얻곤 했다 .

시끄러운 학교와 도서관을 꿈꾸며...

초등 3학년 아이들을 가르치다보면.. 아이들은 신나게 공부하죠.. 웃고 떠들고.. 장난치고.. 저는 이런 교육이 아주 자연스러운 교육이라고 생각되거든요. 자기 주장 펼치고.. 이해가 안가면 안간다고 이야기하고.. 암튼 시끌벅적합니다.

그런 가운데 아이들이 깨닫는 것이 굉장히 많고.. 특히 아이들끼리 생각을 주고 받으면서 훨씬 빨리.. 그리고 높은 수준으로 개념들을 학습하는 것을 봅니다. 특히 자기 생각을 많이 펼치게 하면. 수동적인 학생 입장이 아니고, 능동적인 교사 입장이 되어 설명을 시작합니다. 그러면서 오류가 발견되면.. 스스로 느끼고.. 어떻게 풀까를 고민하죠..

이런 것을 지켜보는 엄마는... 공부가 아니라고 생각할 때가 많다는 것이죠. 공부란 조용히 앉아서 깊은 묵상을 하고, 묵묵히 연습문제를 푸는 것 쯤으로 생각하는 듯 해요.. 그도 그럴 것이.. 우리가 접하는 모든 교육기관에서는 정숙.. 조용함을 강요하니까요.. 학교도, 도서관도, 각종 강연장들도... 얼마나 엄숙한지 까치발로 다녀야할 것 같은 기분이 든단 말이죠.

시끌벅적한 학교.. 웃고 떠드는 도서관.. 이런거 만들면 안될까요? 웃고, 떠들고, 자기 생각을 표현하고, 또 반박하고.. 그러면서 오류를 스스로 느끼고.. 서로 고쳐주고.. 그러면서 깨달음을 얻게 될 터인데..

학교성적, 재능, 그리고 천재..

시간날 때 짬짬이 가르치던 초3 아이의 엄마를 만났는데.. 아이가 인문고전을 읽는 습관이 들어서, 곧잘 혼자 인문고전을 혼자 읽는다는 것이다. 만약 그 아이가 고전읽는 습관을 계속 유지한다면, 이 아이에게 다른 교육이 필요하지는 않을 것이다. 스스로 읽으며 깨우칠 것이니까.. 처음에 이 아이의 부모님 소견으로는 예술, 체육을 좋아하지, 공부와 관련되어서는 신통치 않다고 했다. 특히 수학을 다른 아이에 비해 좀 못하는 편이라서 어찌해야할지 걱정도 된다고.. 이 아이를 지켜보면서, 예술적 재능은 보통사람의 범주를 뛰어넘어서는 것이었다. 책을 읽으면, 그 내용을 그림으로 승화시켰고, 그리는 것도 거침없이 해내었다. 이쪽으로 재능을 살려주는 것이 좋겠다고 권해드려도, 부모님은 탐탁치 않게 여기셨다. 일단 공부부터 하고.. 뭐 이런 마음이랄까..

수학에 관해서는.. 처음에는 잘 못하는 줄 알았다. 그런데 점점 수준을 높여서 지수, 함수 이런 부분으로 들어가니.. 다른 아이보다 훨씬 잘 하는 것이 아닌가.. 단지 사칙연산 부분에서 연습을 게을리 한 것 뿐이었다. 초3, 해봐야 곱하기 정도 하는데.. 이걸 좀 더디한다고 수학을 못한다고 생각한 것이다. 처음에 곱하기를 자신있게 외우지 못하여, 재미있게 노래부르며 곱하기를 배운 이후로는 분수도 거침없고, 함수도 다른 아이들보다 이해도가 월등했다.

초등아이에게 수학에 대해 재능이 있다 없다, 언어 감각이 있다 없다를 판단함에 있어 그 기준이라는 것이 황당하게도 학교 교과 성적인 것이다. 그것으로 아이들 재능을 판단할 수 있을까? 그런데 현실은 그것이 가장 정확한 지표나 되는 듯 떠받들고 있다.

이 아이들을 가르칠 때 부모님들은 어떻게 초3 아이들이 어려운 고전을 읽고, 높은 수준의 수학을 하겠냐고 의아해했다. 그러나 올바른 방법으로, 아이들과 즐겁게 소통하면 누구나 다 쉽게 익힌다는 것을 나는 안다.

천재들이 하늘에서 난 줄 알지만, 전혀 그렇지 않다. 올바른 교육에서 나는 것이다. 파이만의 아버지가 그에게 했던 교육적 관점과 질문들.. 경험들.. 이런 것이 토대가 되어, 천재 파이만이 등장한 것이다.